Question

已知函數f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，且a≠1）的圖象關于原點對稱．
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調性，并根據定義證明；
（3）若f（x）在（2，+∞）上恒有f（x）＞-1，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數的圖像與性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由函數f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，且a≠1）的圖象關于原點對稱可得f（-x）+f（x）=0，即log_a

1-mx

x-1

+log_a

1+mx

-x-1

=0，從而解得；
（2）先判斷當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞減，當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增；再利用復合函數的單調性證明；
（3）由f（x）在（2，+∞）上恒有f（x）＞-1知f（x）在（2，+∞）上單調遞增；且log_a3＞-1，從而解得．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，且a≠1）的圖象關于原點對稱，
∴f（-x）+f（x）=0，
即log_a

1-mx

x-1

+log_a

1+mx

-x-1

=0，
即（

1-mx

x-1

）（

1+mx

-x-1

）=1；
即1-m²x²=1-x²；
故m=1或m=-1；
若m=1，則

1-x

x-1

=-1，不成立；
若m=-1，則由

1+x

x-1

＞0得，
x＞1或x＜-1；
故m=-1；
（2）當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞減，當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增；
證明如下，
f（x）=log_a

1+x

x-1

=log_a（1+

2

x-1

），
∵y=1+

2

x-1

在（1，+∞）上單調遞減，
而當a＞1時，y=log_ax在（0，+∞）上單調遞增，
故f（x）在（1，+∞）上單調遞減；
當0＜a＜1時，y=log_ax在（0，+∞）上單調遞減，
故f（x）在（1，+∞）上單調遞增；
（3）f（x）在（2，+∞）上恒有f（x）＞-1，
故f（x）在（2，+∞）上單調遞增；且log_a3＞-1，
即0＜a＜

1

3

；
故a的取值范圍為（0，

1

3

）．

點評：本題考查了函數的性質的應用及恒成立問題的應用，屬于基礎題．