Question

已知函數f（x）=x+

m

x

（m為正的常數），它在（0，+∞）內的單調變化是：在(0，

m

]內遞減，在[

m

，+∞)內遞增．其第一象限內的圖象形如一個“對號”．請使用這一性質完成下面的問題．
（1）若函數g（x）=2x+

a

x

在（0，1]內為減函數，求正數a的取值范圍；
（2）若圓C：x²+y²-2x-2y+1=0與直線l：y=kx相交于P、Q兩點，點M（0，b）且MP⊥MQ．求當b∈[1，+∞）時，k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的性質,函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由對勾函數的圖象和性質，可知函數g(x)=2x+

a

x

=2(x+

a 2

x

)(a＞0)在(0，

a 2

]內為減函數．進而構造關于a的不等式，解得正數a的取值范圍；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由MP⊥MQ，可得：k_MP•k_MQ=-1，進而由韋達定理，構造關于k的不等式，解得k的取值范圍．

解答： 解：（1）由對勾函數的圖象和性質，
可知函數g(x)=2x+

a

x

=2(x+

a 2

x

)(a＞0)在(0，

a 2

]內為減函數．
依題意，(0，1]?(0，

a 2

]，
故

a 2

≥1得a≥2
∴a的取值范圍是[2，+∞）．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵MP⊥MQ，
∴k_MP•k_MQ=-1
∴

(y1-b)(y2-b)

x1x2

=-1，
即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0
又y₁=kx₁，y₂=kx₂
∴x₁x₂+（kx₁-b）（kx₂-b）=0，
即(1+k2)x1x2-kb(x1+x2)+b2=0（*）
由

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0

得：（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0
由△=[2（1+k）]²-4（1+k²）=8k＞0得k＞0①
且x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

代入（*）中得(1+k2)

1

1+k2

-kb

2(1+k)

1+k2

+b2=0
即

2k(1+k)

1+k2

=b+

1

b

．
由對勾函數的圖象和性質知，b+

1

b

在b∈[1，+∞）時為增，故b+

1

b

≥1+

1

1

=2．
∴

2k(1+k)

1+k2

≥2，得k≥1②
由①②得k≥1．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質，直線與圓的位置關系，直線垂直的充要條件，是函數與解析幾何的綜合應用，難度中檔．