Question

已知點A（-1，0），B（1，0），直線l：x=-1，P為平面上一動點，設直線PA的斜率為k₁，直線PB的斜率k₂，且k₁•k₂=-1，過P作l的垂線，垂足為Q，則△APQ面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：直線的一般式方程與直線的垂直關系

專題：三角函數的圖像與性質,直線與圓

分析：由已知可得P為以AB為直徑的圓上，除AB外的任意點，設P點坐標為（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z，進而可得△APQ面積的最大值．

解答： 解：∵直線PA的斜率為k₁，直線PB的斜率k₂，且k₁•k₂=-1，
∴PA⊥PB，故P為以AB為直徑的圓上，除AB外的任意點，
由點A（-1，0），B（1，0），
可得以AB為直徑的圓為x²+y²=1，
設P點坐標為（cosx，sinx），x≠kπ，k∈Z，
則Q點的坐標為（-1，sinx），
不妨令P點在第一，二象限，
則△APQ中|PQ|=cosx+1，PQ邊上的高為sinx，
故△APQ面積S=

1

2

sinx（cosx+1）=

1

2

（sinxcosx+sinx）=

1

4

sin2x+

1

2

sinx，
∴S′=

1

2

（cos2x+cosx）=

1

2

（2cos²x+cosx-1），
令S′=0，則cosx=

1

2

，或cosx=-1（舍去），
此時x=

π

3

，S取最大值

1

4

sin

2π

3

+

1

2

sin

π

3

=

3 3

8

，
故答案為：

3 3

8

點評：本題考查的知識點是直線垂直的充要條件，三角函數的最值問題，是三角函數與直線和圓的綜合應用，難度中檔．