Question

12．斜率為1的動直線L與橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$交于P，Q兩點，M是L上的點，且滿足|MP|•|MQ|=2，求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設直線L的方程為：y=x+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（m，n）．可得y₁=x₁+t，y₂=x₂+t，t=n-m．直線方程與橢圓方程聯立可得：3x²+4tx+2t²-4=0，|MP|=$\sqrt{（{x}_{1}-m）^{2}+（{y}_{1}-n）^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{1}-m）^{2}}$，同理可得：|MQ|=$\sqrt{2（{x}_{2}-m）^{2}}$．利用|MP|•|MQ|=2，代入化簡即可得出．

解答 解：設直線L的方程為：y=x+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（m，n）．
則y₁=x₁+t，y₂=x₂+t，t=n-m．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：3x²+4tx+2t²-4=0，
△=16t²-12（2t²-4）＞0，解得：t²＜6．∴x₁+x₂=-$\frac{4t}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{t}^{2}-4}{3}$．
|MP|=$\sqrt{（{x}_{1}-m）^{2}+（{y}_{1}-n）^{2}}$=$\sqrt{2（{x}_{1}-m）^{2}}$，
同理可得：|MQ|=$\sqrt{2（{x}_{2}-m）^{2}}$．
∵|MP|•|MQ|=2，∴1=|（x₁-m）（x₂-m）|=$|{x}_{1}{x}_{2}-m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}|$，
∴m²+2n²=1或7．
∴點M的軌跡為橢圓，其方程為m²+2n²=1或7．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、兩點之間的距離公式、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．