Question

3．在區間（0，1）上隨機取兩個實數m，n，則關于x的一元二次方程${x^2}-2\sqrt{m}x+2n=0$有實數根的概率為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出（m，n）對應圖形的面積，及滿足條件“關于x的一元二次方程方程${x^2}-2\sqrt{m}x+2n=0$有實數根”的點對應的圖形的面積，然后再結合幾何概型的計算公式進行求解

解答 解：要使方程${x^2}-2\sqrt{m}x+2n=0$有實數根，
只需滿足△=4m-8n≥0，即m≥2n，
又m，n是從區間（0，1）上隨機取兩個數，
則滿足條件的m，n，如圖所示，
∴關于x的一元二次方程${x^2}-2\sqrt{m}x+2n=0$有實數根的概率為
P=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{4}$；
故答案為：$\frac{1}{4}$

點評 幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關，而與形狀和位置無關