Question

16．某公司從大學招收畢業生，經過綜合測試，錄用了14名男生和6名女生，這20名畢業生的測試成績如莖葉圖所示（單位：分）．公司規定：成績在180分以上者到甲部門工作，180分以下者到乙部門工作，另外只有成績高于180分的男生才能擔任助理工作．                          
（1）如果用分層抽樣的方法從甲部門人選和乙部門人選中選取8人，再從這8人中選3人，那么至少有一人是甲部門人選的概率是多少？
（2）若從所有甲部門人選中隨機選3人，用X表示所選人員中能擔任助理工作的人數，寫出X的分布列，并求出X的數學期望．

Answer 1

分析 （1）用分層抽樣的方法從“甲部門”和“乙部門”20人中抽取8人，每個人被抽中的概率是$\frac{8}{20}$=$\frac{2}{5}$．根據莖葉圖，“甲部門”人選有10人，“乙部門”人選有10人．可得所以選中的“甲部門”人選，“乙部門”人選．設事件A“至少有一名甲部門人被選中”，其對立事件為$\overline{A}$．P（A）=1-P（$\overline{A}$）．
（2）依據題意，所選畢業生中能擔任“助理工作”的人數X的取值分別為0，1，2，3，利用“超幾何分布”即可得出．

解答 解：（1）用分層抽樣的方法從“甲部門”和“乙部門”20人中抽取8人，每個人被抽中的概率是$\frac{8}{20}$=$\frac{2}{5}$．
根據莖葉圖，“甲部門”人選有10人，“乙部門”人選有10人．
所以選中的“甲部門”人選有$10×\frac{2}{5}$=4人，“乙部門”人選有10×$\frac{2}{5}$=4人．
設事件A“至少有一名甲部門人被選中”，其對立事件為$\overline{A}$．
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$\frac{{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{8}^{3}}$=$\frac{13}{14}$．
因此，至少有1人是“甲部門”人選的概率是$\frac{13}{14}$．
（2）依據題意，所選畢業生中能擔任“助理工作”的人數X的取值分別為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{∁}_{6}^{0}{∁}_{4}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=$\frac{{∁}_{6}^{1}{∁}_{4}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{∁}_{6}^{3}{∁}_{4}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=$\frac{{∁}_{6}^{3}{∁}_{4}^{0}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$．
因此，X的分布列如下：

所以X的數學期望EX=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$．

點評 本題考查了超幾何分布列其的數學期望計算公式、分層抽樣、相互對立事件的概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．