Question

6．設a為實數，函數f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R．
（1）討論f（x）的奇偶性； 
（2）若x≥a，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）討論a=0，a≠0時，運用奇偶性定義，即可判斷；
（2）運用配方法，對a討論，若a≤-$\frac{1}{2}$，a＞-$\frac{1}{2}$，根據單調性，即可求得最小值．

解答 解：（1）當a=0時，函數f（-x）=（-x）²+|-x|+1=f（x），此時f（x）為偶函數．
當a≠0時，f（a）=a²+1，f（-a）=a²+2|a|+1，f（-a）≠f（a）．
且f（-x）=x²+|-x-a|+1≠±f（x），
此時函數f（x）為非奇非偶函數．
（2）當x≥a時，函數$f（x）={x^2}+x-a+1={（x+\frac{1}{2}）^2}-a+\frac{3}{4}$．
若a≤-$\frac{1}{2}$，則函數f（x）在[a，+∞）上的最小值為$f（-\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}-a$．
若a＞-$\frac{1}{2}$，則函數f（x）在[a，+∞）上單調遞增，
從而，函數f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．
綜上，當a≤-$\frac{1}{2}$時，函數f（x）的最小值是$\frac{3}{4}$-a．
當a＞-$\frac{1}{2}$時，函數f（x）的最小值是a²+1．

點評 本題考查函數的奇偶性和最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．