Question

11．如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，四邊形ABEF是矩形，將矩形ABEF沿AB折起到四邊形ABE₁F₁的位置，使得平面ABE₁F₁⊥平面ABCD，M為AF₁上一點，如圖2．

（I）求證：BE₁⊥DC；
（II）求證：DM∥平面BCE₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用線面垂直的定理證明出BE₁⊥平面ABCD，進而可推斷出BE₁⊥DC．
（Ⅱ）先證明出AM∥BE₁，然后利用面面平行的判定定理證明出平面ADM∥平面BCE₁．

解答 證明：（Ⅰ）因為四邊形ABE₁F₁為矩形，
所以BE₁⊥AB．
因為平面ABCD⊥平面ABE₁F₁，且平面ABCD∩平面ABE₁F₁=AB，BE₁?平面ABE₁F₁，
所以BE₁⊥平面ABCD．…（4分）
因為DC?平面ABCD，
所以BE₁⊥DC．…（6分）
（Ⅱ）因為四邊形ABE₁F₁為矩形，
所以AM∥BE₁．
因為AD∥BC，AD∩AM=A，BC∩BE₁=B，
所以平面ADM∥平面BCE₁．…（10分）
因為DM?平面ADM，
所以DM∥平面BCE₁．…（12分）

點評 本題主要考查了線面垂直的判定定理和線面平行，面面平行的判定定理的運用．考查了學生的空間觀察和想象能力．