Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

x+1

，x∈[3，5]，
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）在[3，5]上遞增，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論幾個步驟；
（2）運用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最值．

解答： 解：（1）f（x）在[3，5]上遞增．
證明：設(shè)3≤m＜n≤5，則f（m）-f（n）=-

1

1+m

+

1

1+n

=

m-n

(1+m)(1+n)

由于3≤m＜n≤5，則m-n＜0，（1+m）（1+n）＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，
則f（x）是[3，5]上的增函數(shù)；
（2）由于f（x）是[3，5]上的增函數(shù)，則
當x=3時，f（x）取得最小值，且為-

1

4

，
當x=5時，f（x）取得最大值，且為-

1

6

．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，考查單調(diào)性的應(yīng)用：求最值，屬于基礎(chǔ)題．