Question

sina=

1

2

（x+

1

x

）（x≠0），則a的值為（　　）

• A、2kπ，k∈z
• B、kπ，k∈z
• C、2kπ+

  π

  2

  ，k∈Z
• D、kπ+

  π

  2

  ，k∈z

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：當(dāng)x＞0時(shí)，利用基本不等式的性質(zhì)可得

1

2

(x+

1

x

)≥1，同理當(dāng)x＜0時(shí)，

1

2

(x+

1

x

)≤-1．得到

1

2

(x+

1

x

)∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．而sinx∈[-1，1]．可得sina=±1．利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：當(dāng)x＞0時(shí)，

1

2

(x+

1

x

)≥

1

2

×2×

x• 1 x

=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
同理當(dāng)x＜0時(shí)，

1

2

(x+

1

x

)≤-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)．
∴

1

2

(x+

1

x

)∈（-∞，-1]∪[1，+∞）．
而sinx∈[-1，1]．
∴sina=±1．
∴a=kπ+

π

2

（k∈Z）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．