Question

已知函數f（x）=lg（x+

a

x

-2），其中x＞0，a＞0
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數的定義域及其求法

專題：分類討論,轉化思想,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）直接利用對數函數真數大于0，對a討論，即可求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，轉化為a＞-x²+3x對x∈[2，+∞）恒成立，利用二次函數的性質求解函數的最值，然后確定a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） 由x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0，因為x＞0，所以x²-2x+a＞0…（1分）
解得a＞1時，定義域為（0，+∞）…（3分）
a=1時，定義域為（0，1）∪（1，+∞）…（5分）
0＜a＜1時，定義域為(0，1-

1-a

)∪(1+

1-a

，+∞)…（7分）
（Ⅱ）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立…（8分）
即a＞-x²+3x對x∈[2，+∞）恒成立…（10分）
記h（x）=-x²+3x，x∈[2，+∞），則只需a＞h（x）_max…（11分）
而h（x）=-x²+3x在[2，+∞）上是減函數，所以h（x）_max=h（2）=2…（13分）
故a＞2…（14分）

點評：本題考查函數的恒成立，函數的定義域，考查計算能力，分類討論以及轉化思想的應用．