Question

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且有（

2

a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）設向量

m

=（cos2A+1，3cosA-4），

n

=（5，4），且

m

⊥

n

，求tan（

π

4

+A）的值．

Answer 1

考點：余弦定理,數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數公式變形，求出cosB的值即可，即可確定出B的度數；
（2）由兩向量的坐標，及兩向量數量積為0，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，整理求出cosA的值，進而求出tanA的值，原式利用兩角和與差的正切函數公式化簡，把tanA的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（1）由條件（

2

a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化簡得：（

2

sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：

2

sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

2

2

，
又B為三角形內角，
∴B=

π

4

；
 （2）∵向量

m

=（cos2A+1，3cosA-4），

n

=（5，4），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，即5（cos2A+1）+4（3cosA-4）=0，
整理得：5cos²A+6cosA-8=0，
解得：cosA=

4

5

或cosA=-2（舍去），
又0＜A＜π，∴A為銳角，
∴sinA=

3

5

，tanA=

3

4

，
則tan（

π

4

+A）=

1+tanA

1-tanA

=7．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三平面向量的數量積運算，熟練掌握定理是解本題的關鍵．