Question

1．當0＜x≤$\frac{1}{4}$時，16^x＜log_ax，則a的取值范圍是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． $（\frac{1}{2}，1）$
• C． $（1，\sqrt{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$

Answer 1

分析 由指數函數和對數函數的圖象和性質，將已知不等式轉化為不等式恒成立問題加以解決即可．

解答 解：∵0＜x≤$\frac{1}{4}$時，∴1＜16^x≤2．
要使16^x＜log_ax，由對數函數的性質可得0＜a＜1，
數形結合可知只需2＜log_ax，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{lo{g}_{a}{a}^{2}＜lo{g}_{a}x}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{2}＞x}\end{array}\right.$ 對0＜x≤$\frac{1}{4}$時恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{{a}^{2}＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜a＜1．
故選：B．

點評 本題主要考查了指數函數和對數函數的圖象和性質，不等式恒成立問題的一般解法，是中檔題．