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9.已知函數f(x)=ax3+bx2的圖象經過點A(1,3),且函數f(x)在x=-$\frac{4}{3}$處取得極值.
(1)求實數a,b的值;
(2)求函數f(x)在[-1,2]的最大值和最小值.

分析 (1)求出函數的導數,得到關于a,b的方程組,求出a,b的值即可;
(2)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區間,從而求出函數在閉區間上的最值即可.

解答 解:(1)f′(x)=3ax2+2bx,
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{f(1)=a+b=3}\\{f′(-\frac{4}{3})=3{a(-\frac{4}{3})}^{2}+2b(-\frac{4}{3})=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$;
(2)由(1)知f(x)=x3+2x2,
∴f′(x)=x(3x+4),
令f′(x)>0,解得:x>0或x<-$\frac{4}{3}$,
令f′(x)<0,解得:-$\frac{4}{3}$<x<0,
故函數f(x)在[-1,0]上單調遞減,在[0,2]上單調遞增,
∵f(-1)=1,f(2)=16,
∴f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(2)=16.

點評 本題考查了切線方程問題,考查函數的單調性、最值問題,考查導數的應用,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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