Question

4．已知函數f（x）=$\frac{lnx-a}{x}$-m，（a，m∈R）在x=e（e為自然對數的底）時取得極值且有兩個零點．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）記函數f（x）的兩個零點為x₁，x₂，證明x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析 （1）求函數的導數，求出a的值，求出f（x）的解析式，$\frac{lnx}{x}$=m有2個交點，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，根據函數單調性求出g（x）的最大值，從而求出m的范圍即可；
（2）利用函數零點的性質，結合函數單調性和導數之間的關系，進行轉化即可證明不等式．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx+a}{{x}^{2}}$，（x＞0），
若f（x）在x=e時取得極值，
則f′（e）=$\frac{1-1+a}{{e}^{2}}$=0，解得：a=0，
故f（x）=$\frac{lnx}{x}$-m，
若f（x）有2個零點，即$\frac{lnx}{x}$=m有2個交點，
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＜e，
令g′（x）＜0，解得：x＞e，
∴g（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
故g（x）的最大值是g（e）=$\frac{1}{e}$，
故m＜$\frac{1}{e}$；
（2）∵f（x）有兩個相異零點，∴設lnx₁=mx₁，lnx₂=mx₂，①
即lnx₁-lnx₂=m（x₁-x₂），$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$=m②
而x₁•x₂＞e²，等價于：lnx₁+lnx₂＞2，即m（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：$\frac{l{nx}_{1}-l{nx}_{2}}{{{x}_{1}-x}_{2}}$（x₁+x₂）＞2，
不妨設x₁＞x₂＞0，則t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
上式轉化為：lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1
設H（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1，
則H′（t）=$\frac{{（t-1）}^{2}}{{t（t+1）}^{2}}$＞0，
故函數H（t）是（1，+∞）上的增函數，
∴H（t）＞H（1）=0，
即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
故所證不等式x₁•x₂＞e²成立．

點評 本題主要考查函數單調性和導數之間的關系和應用，以及利用函數的導數研究函數的最值和零點問題，綜合性較強，運算量較大．