Question

已知函數f（x）=

2

x-1

．
（1）證明：函數在區間（1，+∞）上為減函數；
（2）求函數在區間[2，4]上的最值．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）運用單調性的定義證明，注意取值、作差、變形、定符號和下結論幾個步驟；
（2）運用（1）的結論，即可得到最值．

解答： （1）證明：設1＜m＜n，則
f（m）-f（n）=

2

m-1

-

2

n-1

=

2(n-m)

(m-1)(n-1)

由于1＜m＜n，則n-m＞0，m-1＞0，n-1＞0，
則f（m）-f（n）＞0，
則函數f（x）在區間（1，+∞）上為減函數；
（2）解：由（1）可得，f（x）在區間[2，4]上遞減，
則f（2）取得最大，且為2，f（4）取最小，且為-

2

3

．

點評：本題考查函數的單調性的證明和運用：求最值，考查運算能力，屬于基礎題．