Question

若函數f（x）=

ax+b

x2+1

是偶函數，且f（1）=2．
（1）求a、b的值及f（x）；
（2）判斷函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意可得，f（-x）=

-ax+b

x2+1

=f（x）=

ax+b

x2+1

對任意x∈R恒成立，f（1）=2，從而求求a、b的值及f（x）；
（2）判斷函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，再利用復合函數的單調性證明．

解答： 解：（1）由題意可得，對任意x∈R，都有
f（-x）=

-ax+b

x2+1

=f（x）=

ax+b

x2+1

，
解得，a=0，
又∵f（1）=

b

2

=2，
∴b=4；
故f（x）=

4

x2+1

；
（2）函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減，證明如下，
令u=x²+1，
∵u=x²+1在（0，+∞）上單調遞增，
且y=

4

u

在（0，+∞）上單調遞減，
∴由復合函數的單調性可知，
函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減．

點評：本題考查了函數的奇偶性的應用與函數的單調性的證明，屬于基礎題．