Question

16．已知A，B是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左右頂點，P是異于A，B的橢圓上一點，．
（ 1 ）求P到定點Q（0，1）的最大值；
（2）設PA，PB的斜率為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設P（4cosα，2sinα），α∈[0，2π），則|PQ|²=（4cosα）²+（2sinα-1）²=-12（sinα+$\frac{1}{6}$）²+$\frac{1}{3}$+17，當sinα+$\frac{1}{6}$=0，即sinα=-$\frac{1}{6}$時，|PQ|取得最大值，|PA|_max=$\sqrt{\frac{52}{3}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$；
（2）設P（x，y）（y₁≠0），A（-4，0），B（4，0），根據兩點之間的距離公式求得，則k₁=$\frac{y}{{x}_{1}+4}$，k₂=$\frac{y}{x-4}$，k₁k₂=$\frac{y}{{x}_{1}+4}$•$\frac{y}{x-4}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$，P（x₁，y₁）在橢圓上，$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$=-$\frac{1}{4}$，k₁k₂為定值．

解答 解：（1）由題意可知：設P（4cosα，2sinα），α∈[0，2π），
則|PQ|²=（4cosα）²+（2sinα-1）²
=16cos²α+4sin²α-4sinα+1，
=16（1-sin²α）+4sin²α-4sinα+1，
=-12sin²α-4sinα+17，
=-12（sinα+$\frac{1}{6}$）²+$\frac{1}{3}$+17，
∴當sinα+$\frac{1}{6}$=0，即sinα=-$\frac{1}{6}$時，
|PQ|取得最大值，|PA|_max=$\sqrt{\frac{52}{3}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$；
（2）證明：設P（x，y）（y₁≠0），A（-4，0），B（4，0）則k₁=$\frac{y}{{x}_{1}+4}$，k₂=$\frac{y}{x-4}$，
k₁k₂=$\frac{y}{{x}_{1}+4}$•$\frac{y}{x-4}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$，
∵P（x₁，y₁）在橢圓上，$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，整理得：$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-16}$=-$\frac{1}{4}$
∴k₁k₂為定值-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查橢圓的方程的應用，考查橢圓的參數方程，直線的斜率公式，同角三角函數的基本關系，考查正弦函數圖象與性質，考查計算能力，屬于中檔題．