Question

2．在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，側棱A₁A⊥底面ABC，AC=1，A₁A=2，∠BAC=90°，若直線AB₁與直線A₁C的夾角的余弦值是$\frac{4}{5}$，則棱AB的長度是1．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標系，求出向量的坐標，利用直線AB₁與直線A₁C的夾角的余弦值是$\frac{4}{5}$，建立方程，即可得出結論．

解答 解：建立如圖所示的坐標系，設AB=x，則A（0，0，0），B₁（x，0，2），A₁（0，0，2），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（x，0，2），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，1，-2），
∵直線AB₁與直線A₁C的夾角的余弦值是$\frac{4}{5}$，
∴|$\frac{-4}{\sqrt{{x}^{2}+4}•\sqrt{5}}$|=$\frac{4}{5}$，
∴x=1．
故答案為1．

點評 本題考查異面直線所成角的運用，考查學生分析解決問題的能力，考查向量知識，屬于中檔題．