Question

9．若a_n是（2+x）ⁿ（n∈N^*，n≥2，x∈R）展開式中x²項的二項式系數，則$\lim_{n→∞}（\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}）$=2．

Answer 1

分析 （2+x）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展開式，T_r+1，令r=2，可得a_n，再利用求和公式化簡，利用數列的極限即可得出．

解答 解：（2+x）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展開式，T_r+1=${C}_{n}^{r}{2}^{n-r}{x}^{r}$，令r=2，可得：T₃=2^n-2${C}_{n}^{2}$x²．
∴a_n是二項式（2+x）ⁿ（其中n=2，3，4，…）的展開式中x的二項式系數，
∴a_n=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$．
則$\lim_{n→∞}（\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n}）$=$\underset{lim}{n→∞}$2$（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=$\underset{lim}{n→∞}$$（2-\frac{2}{n}）$=2．
故答案為：2．

點評 本題考查二項式定理的應用，數列求和，數列的極限的求法，考查計算能力．