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9.若an是(2+x)n(n∈N*,n≥2,x∈R)展開式中x2項的二項式系數,則$\lim_{n→∞}(\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n})$=2.

分析 (2+x)n(其中n=2,3,4,…)的展開式,Tr+1,令r=2,可得an,再利用求和公式化簡,利用數列的極限即可得出.

解答 解:(2+x)n(其中n=2,3,4,…)的展開式,Tr+1=${C}_{n}^{r}{2}^{n-r}{x}^{r}$,令r=2,可得:T3=2n-2${C}_{n}^{2}$x2
∴an是二項式(2+x)n(其中n=2,3,4,…)的展開式中x的二項式系數,
∴an=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n(n-1)}{2}$.
則$\lim_{n→∞}(\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{a_n})$=$\underset{lim}{n→∞}$2$(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$=$\underset{lim}{n→∞}$$(2-\frac{2}{n})$=2.
故答案為:2.

點評 本題考查二項式定理的應用,數列求和,數列的極限的求法,考查計算能力.

練習冊系列答案
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