Question

20．已知數列{a_n}各項均為正數，其前n項和為S_n，且滿足$4{S_n}=a_n^2+2{a_n}（{n∈{N^*}}）$，則a_n=2n．

Answer 1

分析 把n=1代入已知的式子求出a₁的值，當n≥2時可得$4{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}$，利用a_n=S_n-S_n-1 兩式作差后化簡得到遞推公式，由等差數列的定義和通項公式求出答案．

解答 解：由題意知，$4{S}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}（n∈{N}^{*}）$，
當n=1時，$4{S}_{1}={a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$，
解得a₁=2或a₁=0（舍去），
當n≥2時，$4{S}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}$，①
$4{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+2{a}_{n-1}$，②，
①-②得，$4{a}_{n}={a}_{n}^{2}+2{a}_{n}-{a}_{n-1}^{2}-2{a}_{n-1}$，
則${a}_{n}^{2}-{a}_{n-1}^{2}-2（{{a}_{n}+a}_{n-1}）=0$，
所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因為數列{a_n}各項均為正數，
所以a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2，
則數列{a_n}是以2為首項、公差的等差數列，
所以a_n=2+2（n-1）=2n，
故答案為：2n．

點評 本題考查數列前n項和與通項公式的關系：當n≥2時a_n=S_n-S_n-1，數列的遞推公式，以及等差數列的定義和通項公式的應用，考查化簡、變形能力．