Question

12．在△ABC中，已知角A的正切值為函數y=lnx-$\frac{2}{x}$在x=1處切線的斜率，且a=$\sqrt{10}$，b=2，則sinB=$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 求出函數的導數，得到切線的斜率，求出A的正切函數值，然后轉化利用正弦定理求解即可．

解答 解：函數y=lnx-$\frac{2}{x}$，可得y′=$\frac{1}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$，∴f′（1）=3，
∴tanA=3，可得sinA=$\sqrt{ta{n}^{2}A•co{s}^{2}A}=\sqrt{ta{n}^{2}A•\frac{1}{1+ta{n}^{2}a}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點評 本題考查函數的導數的應用，三角函數的應用，正弦定理，考查計算能力．