Question

在三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥平面ABC，D，E分別為BC，AC的中點，F是CD的中點．
（1）求證：AD∥平面PEF；
（2）求證：平面PBE⊥平面PAC；
（3）若二面角P-BC-A為45°，求直線PB與平面PEF所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）首先利用中位線得到線線平行，進一步得到線面平行．
（2）利用線面垂直，進一步轉化成面面垂直．
（3）建立空間直角坐標系，利用法向量知識，再利用向量的夾角求出線面的夾角．

解答： （1）證明：在三棱錐P-ABC中，底面ABC是邊長為2的正三角形，PA⊥平面ABC，D，E分別為BC，AC的中點，F是CD的中點．
則：EF是△ACD的中位線．
所以：EF∥AD
AD?平面PEF，
所以：AD∥平面PEF．
（2）連接BE，由于E為AC的中點，
所以BE⊥AC，
已知：PA⊥平面ABC，
所以：PA⊥BE
所以：BE⊥平面PAC
BE?平面PBE，
所以：平面PBE⊥平面PAC
（3）建立空間直角坐標系A-xyz，以AD為x軸，AH為y軸，AP為z軸．
又由于二面角P-BC-A為45°，
AD⊥BC，PA⊥BC，
所以：BC⊥平面PAD
所以：PD⊥BC
所以：∠ADP是二面角P-BC-A的平面角
所以：∠ADP=45°
所以：PA=AD=

3

所以：B（

3

，-1，0），F（

3

，

1

2

，0），E（

3

2

，

1

2

，0），P（0，0，

3

）
則：

PB

=(

3

，-1，-

3

)，

PF

=(

3

，

1

2

，-

3

)，

PE

=(

3

2

，

1

2

，-

3

)
設平面PEF的法向量為

n

=（x，y，z）
利用：

n • PF =0 n • PE =0

解得：

n

=(0，2

3

，1)，
則：設直線PB與平面PEF所成角為α
sinα=|

PB • n

| PB || n |

|=

3 3

91

所以：tanα=

3 3

8

點評：本題考查的知識要點：線面的平行判定，面面垂直的判定定理，法向量，線面的夾角，屬于中等題型．