Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心和單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)長(zhǎng)度單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可求f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，由2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，可求單調(diào)遞減區(qū)間，利用三角函數(shù)的對(duì)稱性可求對(duì)稱中心．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求g（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1，由已知可求2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求最值．

解答 （本題滿分為13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=cos（2x+$\frac{2π}{3}$）+2cos²x=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1+cos2x=$\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴函數(shù)的最小正周期為π，
∵由：2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，可得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
∴f（x）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，可得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴f（x）的對(duì)稱中心是：（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，1），k∈Z．
（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)長(zhǎng)度單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，
可得：g（x）=f（x-$\frac{π}{3}$）=cos[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]+1=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
由：x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
可得：cos（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈[$\frac{1}{2}$，2]，
可得：f（x）的最小值是$\frac{1}{2}$，f（x）的最大值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．