Question

10．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC⊥CB，點M和N分別是B₁C₁和BC的中點．
（1）求證：MB∥平面AC₁N；
（2）求證：AC⊥MB．

Answer 1

分析 （1）證明MC₁NB為平行四邊形，所以C₁N∥MB，即可證明MB∥平面AC₁N；
（2）證明AC⊥平面BCC₁B₁，即可證明AC⊥MB．

解答 證明：（1）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因為點M，N分別是B₁C₁，BC的中點，
所以C₁M∥BN，C₁M=BN．
所以MC₁NB為平行四邊形．
所以C₁N∥MB．
因為C₁N?平面AC₁N，MB?平面AC₁N，
所以MB∥平面AC₁N；
（2）因為CC₁⊥底面ABC，
所以AC⊥CC₁．
因為AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
所以AC⊥平面BCC₁B₁．
因為MB?平面BCC₁B₁，
所以AC⊥MB．

點評 本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．