Question

12．如圖所示，某縣相鄰兩鎮(zhèn)在一平面直角坐標系下的坐標為A（1，2），B（4，0），一條河所在的直線方程為l：x+2y-10=0，若在河邊l上建一座供水站P，使之到A，B兩鎮(zhèn)的管道最省，那么供水站P應建在什么地方？

Answer 1

分析 根據(jù)兩點間的距離公式以及點的對稱性，建立方程組關系進行求解即可．

解答 解：過A作直線l的對稱點A′，連A′B交l于P，
∵|AP′|+|P′B|=|A′P′|+|BP′|＞|A′B|，
∴P點即為所求．
設A′（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}+2•\frac{b+2}{2}-10=0}\\{\frac{b-2}{a-1}•（-\frac{1}{2}）=-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=15}\\{b=2a}\end{array}\right.$，解得a=3，b=6，
即A′（3，6），
∴直線A′B的方程為$\frac{y-0}{6-0}=\frac{x-4}{3-4}$，即6x+y-24=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{6x+y-24=0}\\{x+2y-10=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{38}{11}$，y=$\frac{36}{11}$，
即P（$\frac{38}{11}$，$\frac{36}{11}$），
故供水站P應建在P（$\frac{38}{11}$，$\frac{36}{11}$），才能使管道最省．

點評 本題主要考查直線對稱性的應用，以及直線交點坐標的求解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵，是中檔題．