Question

16．下列命題中真命題的是（　　）
①若p∧q是假命題，則p，q都是假命題；
②命題p：4＜r＜7，命題q：圓（x-3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上恰好有兩個點到直線4x-3y=2的距離等于l，則p是q的必要不充分條件；
③若p：x≤1，q：$\frac{1}{x}$＜1，則￢p是q的充分不必要條件．
④設隨機變量X服從正態分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C-1），則C=7．

• A． ①③
• B． ③④
• C． ①②
• D． ②③

Answer 1

分析 ①，若p∧q是假命題，則p，q至少有一個假命題；
②，求得圓心到直線的距離為5，又圓（x-3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上恰好有兩個點到直線4x-3y=2的距離等于l，半徑r的取值范圍是4＜r＜6，即可判定；
③，若$\frac{1}{x}$＜1，⇒x＞1或x＜0；若x＞1⇒$\frac{1}{x}＜1$，故￢p是q的充分不必要條件．
④，隨機變量X服從正態分布N（3，7），則其正態分布曲線關于直線x=3對稱，當P（X＞C+1）=P（X＜C-1）時，C+1+C-1=6，則C=3．

解答 解：對于①，若p∧q是假命題，則p，q至少有一個假命題，故錯；
對于②，命題q：圓心到直線的距離為5，又圓（x-3）²+（y+5）²=r²（r＞0）上恰好有兩個點到直線4x-3y=2的距離等于l，故半徑r的取值范圍是4＜r＜6
則p是q的必要不充分條件，故正確．
對于③，若$\frac{1}{x}$＜1，⇒x＞1或x＜0；∵￢p：x＞1⇒$\frac{1}{x}＜1$，故￢p是q的充分不必要條件，故正確．
對于④，隨機變量X服從正態分布N（3，7），則其正態分布曲線關于直線x=3對稱，當P（X＞C+1）=P（X＜C-1）時，C+1+C-1=6，則C=3．故錯．
故選：D

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到了復合命題、充要條件的判定，屬于中檔題．