Question

4．已知定義域為R的函數f（x）=a+$\frac{2bx+3sinx+bxcosx}{2+cosx}$（a，b∈R）有最大值和最小值，且最大值與最小值之和為6，則3a-2b=（　�。�

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 把已知函數式變形，根據條件可知b=0，然后根據三角函數的輔助角公式求函數的值域，再由最大值與最小值之和為6求得a的值，從而求得3a-2b的值．

解答 解：∵函數y=f（x）=a+$\frac{2bx+3sinx+bxcosx}{2+cosx}$=a+bx+$\frac{3sinx}{2+cosx}$有最大值和最小值，
∴必有b=0，
則y=f（x）=a+$\frac{3sinx}{2+cosx}$，即y-a=$\frac{3sinx}{2+cosx}$．
∴3sinx+（a-y）cosx=2y-2a，
得$\sqrt{9+（a-y）^{2}}sin（x+θ）=2y-2a$（tanθ=$\frac{a-y}{3}$）．
∴sin（x+θ）=$\frac{2y-2a}{\sqrt{9+（a-y）^{2}}}$，
由|sin（x+φ）|=|$\frac{2y-2a}{\sqrt{9+（a-y）^{2}}}$|≤1，
可得（y-a）²≤3，故有a-$\sqrt{3}$≤y≤a+$\sqrt{3}$．
再根據最大值與最小值之和為6，可得2a=6，即a=3，
∴3a-2b=9-0=9，
故選：C．

點評 本題考查函數的最值及其幾何意義，利用條件確定b=0是解決本題的關鍵，屬于中檔題．