Question

根據下列條件求雙曲線的標準方程：
（1）經過點（

15

4

，3），且一條漸近線方程為4x+3y=0；
（2）P（0，6）與兩個焦點的連線互相垂直，與兩個頂點連線的夾角為

π

3

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意，可設雙曲線的方程為16x²-9y²=m（m≠0），代入點的坐標計算即可得到；
（2）由題意可設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），令兩焦點為（-c，0），（c，0），兩頂點為（-a，），（a，0），由題意可得c=6，a=2

3

，再由雙曲線的a，b，c的關系可得b，進而得到雙曲線的方程．

解答： 解：（1）由于雙曲線的一條漸近線方程為4x+3y=0，
可設雙曲線的方程為16x²-9y²=m（m≠0），
代入點（

15

4

，3），得m=16×

225

16

-9×81=-504．
則有雙曲線的標準方程為

y2

56

-

x2

63 2

=1；
（2）由題意可設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），
令兩焦點為（-c，0），（c，0），兩頂點為（-a，），（a，0），
由P（0，6）與兩個焦點的連線互相垂直，
再由對稱性，可得c=6，
由P與兩個頂點連線的夾角為

π

3

，
再由對稱性，可得6=

3

2

×2a，即有a=2

3

，
則b=

c2-a2

=

36-12

=2

6

．
則雙曲線的標準方程為

x2

12

-

y2

24

=1．

點評：本題考查雙曲線的方程的求法，考查雙曲線的性質的運用，考查運算能力，屬于基礎題和易錯題．