Question

某公司生產的商品A每件售價為5元時，年銷售10萬件．
（1）據市場調查，若價格每提高一元，銷量相應減少1萬件，要使銷售收入不低于原銷售收入，該商品的銷售價格最多提高多少元？
（2）為了擴大該商品的影響力，公司決定對該商品的生產進行技術革新，將技術革新后生產的商品售價提高到每件x元，公司擬投入

1

2

(x2+x)萬元作為技改費用，投入

x

4

萬元作為宣傳費用．試問：技術革新后生產的該商品銷售量m至少應達到多少萬件時，才可能使技術革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據條件建立函數關系即可；
（2）結合基本不等式的性質即可求出函數的最值．

解答： 解：（1）設商品的銷售價格提高a元，則銷售量減少10-a萬件，
則（10-a）（5+a）≥50，即a²-5a≤0，解得0≤a≤5，
故商品的銷售價格最多提高5元．
（2）由題意知，改革后的銷售收入為mx萬元，若使技術革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和，
則只需要滿足mx=

1

2

（x²+x）+

x

4

+50，（x＞5）即可，
即m=

1

2

x+

3

4

+

50

x

≥

3

4

+2

1 2 x• 50 x

=10+

3

4

=

43

4

，
當且僅當

1

2

x=

50

x

，即x=10時，取等號，
答：銷售量m至少應達到

43

4

萬件時，才可能使技術革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和．

點評：本題主要考查函數的應用問題，根據條件建立函數關系，利用基本不等式的性質求最值是解決本題的關鍵．