Question

6．已知函數$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期；
（2）$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值；
（3）由題意等價于-2＜f（x）-m＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，即-2+m＜f（x）＜2+m在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，根據（2）可得實數m的取值范圍．

解答 解：函數$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x$．
化簡得：f（x）=$1-cos（\frac{π}{2}+2x）$-$\sqrt{3}$cos2x．
=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x．
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
故得$f（x）=1+2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
最小值正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由（1）可得$f（x）=1+2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
∵$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
故得f（x）_max=3，
f（x）_min=2．
（3）不等式|f（x）-m|＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，等價于-2＜f（x）-m＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，
即-2+m＜f（x）＜2+m在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，
由（2）可知函數f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上f（x）_max=3，f（x）_min=2．
∴$\left\{\begin{array}{l}2+m＞3\\-2+m＜2\end{array}\right.$
解得：1＜m＜4．
故得實數m的取值范圍為（1，4）．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．恒成立問題轉化為不等式來求解，屬于中檔題．