Question

10．S_n為數列{a_n}的前n項和，已知${a_n}＞0，4{S_n}=（{{a_n}+3}）（{{a_n}-1}），（{n∈{N^*}}）$．則{a_n}的通項公式a_n=2n+1．

Answer 1

分析 把已知數列遞推式變形，可得4S_n=a_n²+2a_n-3，進一步得到4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，兩式作差可得數列{a_n}是首項為3、公差d=2的等差數列，則數列通項公式可求．

解答 解：由$4{S}_{n}=（{a}_{n}+3）（{a}_{n}-1）={{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}-3$，
可知4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，
兩式相減得a_n+1²-a_n²+2（a_n+1-a_n）=4a_n+1，
即2（a_n+1+a_n）=a_n+1²-a_n²=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁²+2a₁=4a₁+3，
∴a₁=-1（舍）或a₁=3，
∴數列{a_n}是首項為3、公差d=2的等差數列，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=3+2（n-1）=2n+1．
故答案為：2n+1．

點評 本題考查數列的通項公式以及數列求和的計算，利用裂項法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．