Question

5．設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：
①f（x）在[a，b]上是單調函數(shù)；
②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]是函數(shù)f（x）的“和諧區(qū)間”．
下列結論錯誤的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）=x²（x≥0）存在“和諧區(qū)間”
• B． 函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）存在“和諧區(qū)間”
• C． 函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）不存在“和諧區(qū)間”
• D． 函數(shù)f（x）=log₂x（x＞0）存在“和諧區(qū)間”

Answer 1

分析 A、B、C中，可以找出定義域中的“和諧區(qū)間”，從而作出正確的選擇．D中，假設存在“和諧區(qū)間”[a，b]，會得出錯誤的結論．

解答 解：A中，當x≥0時，f（x）=x²在[0，2]上是單調增函數(shù)，且f（x）在[0，2]上的值域是[0，4]，∴存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；
B中，當x∈R時，f（x）=2^x在[1，2]上是單調增函數(shù)，且f（x）在[1，2]上的值域是[2，4]，∴存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；
C中，f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）是單調減函數(shù)，且f（x）在[1，2]上的值域是[$\frac{1}{4}$，1]，∴不存在“和諧區(qū)間”，原命題正確；
D中，當x＞0時，f（x）=log₂x是單調增函數(shù)，假設存在[a，b]滿足題意，則f（a）=2a，且f（b）=2b，即log₂a=2a，且log₂b=2b；
∴2^2a=a，且2^2b=b，即4^a=a，且4^b=b；這與函數(shù)的單調性矛盾，∴假設不成立，即函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”，原命題不正確；
故選D．

點評 本題考查了新定義下的函數(shù)的性質與應用問題，解題時應理解新定義中的題意與要求，轉化為解題的條件與結論，是易錯題．屬于中檔題．