Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸的一個頂點與兩個焦點構成正三角形，且該三角形的周長為6
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設F₁，F₂是橢圓C的左右焦點，若橢圓C的一個內接平行四邊形ABCD的一組對邊過點F₁和F₂，求這個平行四邊形的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得：$b=\sqrt{3}c$，2a+2c=6，a²=b²+c²，解出即可得出．
（II）設過橢圓右焦點F₂的直線l：x=ty+1與橢圓交于A，B兩點，與橢圓方程聯立得：（3t²+4）y²+6ty-9=0，由此利用韋達定理、弦長公式、平行四邊形面積、函數單調性，能求出平行四邊形面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得：$b=\sqrt{3}c$，2a+2c=6，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）設過橢圓右焦點F₂的直線l：x=ty+1與橢圓交于A，B兩點，
則$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，整理，得：（3t²+4）y²+6ty-9=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{t}^{2}+4}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{-6t}{3{t}^{2}+4}）^{2}+\frac{36}{3{t}^{2}+4}}$=$\frac{12\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
∴S_△AOB=${S}_{△O{F}_{1}A}+{S}_{△O{F}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂||OF|=$\frac{6\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$，
橢圓C的內接平行四邊形面積為S=4S_△OAB=$\frac{24\sqrt{{t}^{2}+1}}{3{t}^{2}+4}$．
令m=$\sqrt{1+{t}^{2}}$≥1，則S=f（m）=$\frac{24m}{3{m}^{2}+1}$=$\frac{24}{3m+\frac{1}{m}}$，
注意到S=f（m）在[1，+∞）上單調遞減，∴S_max=f（1）=6，
當且僅當m=1，即t=0時等號成立．故這個平行四邊形面積的最大值為6．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、弦長公式、三角形面積計算公式、換元法、函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．