Question

已知集合A={x|（x-2a）（x+a-1）≤0}，B={x|

x-3

x+2

＞0}，若A∪B=R，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,并集及其運算

專題：不等式的解法及應用

分析：易得B={x|x＜-2或x＞3}，分類討論：
（1）當a＜

1

3

時，A={x|2a≤x≤1-a}，由A∪B=R可得2a≤-2且1-a≥3，解不等式可得；
（2）當a＞

1

3

時，A={x|1-a≤x≤2a}，由A∪B=R可得1-a≤-2且2a≥3，解不等式可得；
（3）當a=

1

3

時，A={x|x=

2

3

}，不可能滿足A∪B=R．
綜合可得a的取值范圍．

解答： 解：∵B={x|

x-3

x+2

＞0}={x|x＜-2或x＞3}，
（1）當a＜

1

3

時，2a＜1-a，此時A={x|（x-2a）（x+a-1）≤0}={x|2a≤x≤1-a}，
由A∪B=R可得2a≤-2且1-a≥3，解得a≤-2，結合a＜

1

3

可得a≤-2；
（2）當a＞

1

3

時，2a＞1-a，此時A={x|（x-2a）（x+a-1）≤0}={x|1-a≤x≤2a}，
由A∪B=R可得1-a≤-2且2a≥3，解得a≥3，結合a＞

1

3

可得a≥3；
（3）當a=

1

3

時，2a＜1-a，此時A={x|（x-2a）（x+a-1）≤0}={x|x=

2

3

}，不可能滿足A∪B=R．
綜上可得a的取值范圍為：（-∞，-2]∪[3，+∞）

點評：本題考查不等式的解法，涉及集合的運算和分類討論的思想，屬中檔題．