Question

19．已知函數f（x）=6-12x+x³．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）求過點P（3，-3）并且與函數f（x）圖象相切的切線方程．

Answer 1

分析 （1）解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（2）設出切點坐標（a，6-12a+a³），表示出切線方程，將P代入方程，求出a的值，求出切線方程即可．

解答 解：（1）f′（x）=-12+3x²，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜2，
故f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故f（x）_極大值=f（-2）=22，f（x）_極小值=f（2）=-10．
（2）設切點坐標是（a，6-12a+a³），
由f′（x）=-12+3x²，得f′（a）=-12+3a²，
故切線方程是：y-（6-12a+a³）=（-12+3a²）（x-a），
將P（3，-3）代入方程得：-3-（6-12a+a³）=（-12+3a²）（3-a），
整理得：2a³-9a²+27=0，即（a-3）²（2a+3）=0，
解得：a=3或a=-$\frac{3}{2}$，
故切線方程是：15x-y-48=0或21x+4y-51=0．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查切線方程問題，是一道中檔題．