Question

2．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1時有極值0，則a-b=（　　）

• A． -7
• B． -2
• C． -7和-2
• D． 以上答案都不對

Answer 1

分析 求導函數，利用函數f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1處有極值0，建立方程組，求得a，b的值，再驗證，即可得到結論．

解答 解：∵函數f（x）=x³+3ax²+bx+a²，
∴f'（x）=3x²+6ax+b，
又∵函數f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1處有極值0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$，
當$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$時，f'（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）²=0，方程有兩個相等的實數根，不滿足題意；
當$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$時，f'（x）=3x²+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有兩個不等的實數根，滿足題意；
∴a-b=-7
故選：A．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查學生的計算能力，屬于基礎題．