Question

【題目】已知圓A：（x+2）2+y2=1，圓B：（x﹣2）2+y2=49，動(dòng)圓P與圓A，圓B均相切．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)N（2， ），作射線AN，與“P點(diǎn) 軌跡”交于另一點(diǎn)M，求△MNB的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵圓A：（x+2）2+y2=1，圓B：（x﹣2）2+y2=49，動(dòng)圓P與圓A，圓B均相切，

∴圓A的圓心A（﹣2，0），半徑R1=1，圓B的圓心B（2，0），半徑R2=7，

設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），半徑為r，而圓A內(nèi)含于圓B，

當(dāng)動(dòng)圓P與圓A外切，與圓B內(nèi)切時(shí)，有|PA|=r+1，|PB|=7﹣r，

∴|PA|+|PB|=8＞|AB|=4，

由橢圓定義知：動(dòng)點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為 ．

當(dāng)動(dòng)圓P與圓A內(nèi)切，與圓B內(nèi)切時(shí)，有|PA|=r﹣1，|PB|=7﹣r，

∴|PA|+|PB|=6＞|AB|=4，

由橢圓定義知：動(dòng)點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為 ．

綜上可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為： 或

（2）解：由題意N點(diǎn)在橢圓 上，A，B是兩橢圓 和 的公共焦點(diǎn)，

由橢圓定義知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，

兩式相減得：|MN|+|MB|﹣|NB|=2，而 ，

故△MNB周長(zhǎng)等于

【解析】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），半徑為r，而圓A內(nèi)含于圓B，當(dāng)動(dòng)圓P與圓A外切，與圓B內(nèi)切時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓；當(dāng)動(dòng)圓P與圓A內(nèi)切，與圓B內(nèi)切時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓．由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．（2）由橢圓定義知：|MA|+|MB|=8，|NA|+|NB|=6，由此能求出△MNB周長(zhǎng)．