Question

若函數f（x）=x²+ax+2b在區間（0，1）、（1，2）內各有一個零點，則

b-2

a-1

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規劃的應用

專題：不等式的解法及應用

分析：根據函數零點的條件，得到不等式關系，利用線性規劃的知識即可得到結論．

解答： 解：若函數f（x）=x²+ax+2b在區間（0，1）、（1，2）內各有一個零點，
則

f(0)＞0 f(1)＜0 f(2)＞0

，即

b＞0 a+2b+1＜0 2a+2b+4＞0

，
作出不等式組對應的平面區域如圖：
設z=

b-2

a-1

，則z的幾何意義為區域內點到點D（1，2）的斜率，
由圖象可知AD的斜率最小，CD的斜率最大，
由

a+2b+1=0 2a+2b+4=0

，解得

a=-3 b=1

，即A（-3，1），
此時AD的斜率k=

1-2

-3-1

=

1

4

，CD的斜率k=

-2

-1-1

=1，
即

1

4

＜z＜1，
故答案為：(

1

4

，1)．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，根據函數零點分布以及一元二次函數根的分布是解決本題的關鍵．