Question

對于n∈N，試比較2ⁿ與n²的大小.

Answer 1

解析：先驗算n=1時，2ⁿ＞n²，n=2和n=4時，2ⁿ=n²,n=3時,2ⁿ＜n².

而當n=5時，有2ⁿ＞n²,猜測對n≥5有2ⁿ＞n².

用數學歸納法證明如下：

（1）當n=5時，已證.

（2）設當n=k(k≥5)時，2^k＞k²且k²＞2k+1.

當n=k+1時，2^k+1=2·2^k＞2k²＞k²+2k+1=(k+1)²,

即n=k+1時成立.

由（1）、（2），知猜測正確.