Question

已知等差數列{a_n}和等比數列{b_n}，a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．
（I）求a_n、b_n；
（Ⅱ）對于?n∈N^*，試比較a_n、b_n的大小并用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）利用等差數列，等比數列定義求出d，q，得出通項公式a_n=2n，b_n=2ⁿ即可
（Ⅱ）直接作差或作商不易比較，考慮到與自然數n有關，可先比較幾組，進行大小關系的猜想，用數學歸納法證明．

解答：解：（I）∵a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．∴等差數列{a_n}的公差d=2，等比數列{b_n}的公比q=2
所以a_n=2+（n-1）×2=2n，b_n=2×2^n-1=2ⁿ
（Ⅱ）由已知，
當n=1，2時，a_n=b_n，
當n=3時，a₃=6，b=8，a_n＜b_n
當n=4時，a₃=8，b=16，a_n＜b_n
當n=5時，a₃=10，b=25，a_n＜b_n
猜測當n≥3時，a_n＜b_n
下面用數學歸納法證明．
（1）當n=3時，a₃=6，b=8，a_n＜b_n成立
（2）假設當n=k（k≥3）時成立，即2k＜2^k，
則當n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2•2k=2k+2k＞2k+2=2（k+1），即a_n+1＜b_n+1，所以當n=k+1時也成立
由（1）（2）可知當n≥3時，a_n＜b_n都成立．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若（1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．