Question

已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于n∈N^*，總有成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（II）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T_n，數(shù)列{T_n}的前n項(xiàng)和為R_n，求證：當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，R_n-1=n（T_n-1）；
（III）對(duì)任意n≥2，n∈N^*，試比較與2+的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意，成等差數(shù)列，可得（n∈N^*），再寫一式，兩式相減，整理可得a_n+1-a_n=1，即{a_n}為公差為1的等差數(shù)列，再確定數(shù)列的首項(xiàng)．即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（II），當(dāng)n≥2時(shí)，R_n-1=1+（1+）+…+（）=n-1++-1=n（）-n，即可證得結(jié)論；
（III）先證明，再證明當(dāng)k≥2時(shí)，＜，利用疊加法，即可求得結(jié)論．
解答：（I）解：由題意，成等差數(shù)列，∴（n∈N^*）．
于是，
兩式相減，得，
即a_n+1+a_n=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
由題，a_n＞0，a_n+1+a_n≠0，
得a_n+1-a_n=1，即{a_n}為公差為1的等差數(shù)列．
又由，得a₁=1或a₁=0（舍去）．
∴a_n=1+（n-1）•1=n （n∈N^*）．…（5分）
（II）證明：由（I）知，于是，
于是當(dāng)n≥2時(shí)，R_n-1=1+（1+）+…+（）=n-1++-1
=n（）-n=n（T_n-1）．…（10分）
（III）解：由（I）知，．
∵，∴，
當(dāng)k≥2時(shí)，＜=，
∴＜1+（1-）+（）+…+（）=2+．
即較＜2+．    …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，考查放縮法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確放縮，屬于中檔題．