Question

已知數列{a_n}各項均為正數，滿足n

a

2 n

+(1-n2)a n-n=0．
（1）計算a₁，a₂，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{

an

2n

}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）將已知條件因式分解為（na_n+1）（a_n-n）=0，再由數列{a_n}各項均為正數，能求出a₁，a₂和數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知數列{a_n}為等差數列，而{

1

2n

}為等比數列，利用錯位相減法能求出數列{

an

2n

}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵n

a

2 n

+(1-n2)a n-n=0，
∴（na_n+1）（a_n-n）=0，
又∵數列{a_n}各項均為正數，
∴a_n=n，
∴a₁=1，a₂=2．
（2）∵a_n=n，∴

an

2n

=

n

2n

，
∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，①
2S_n=

1

1

+

2

2

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，②
錯位相減，②-①，得：
S_n=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1×(1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．

點評：本題考查數列的通項公式和數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意因式分解和錯位相減法的合理運用．