Question

已知數列{a_n}各項均為正數，S_n為其前n項和，對于n∈N^*，總有成等差數列．
（I）求數列{a_n}的通項a_n；
（II）設數列{}的前n項和為T_n，數列{T_n}的前n項和為R_n，求證：當n≥2，n∈N^*時，R_n-1=n（T_n-1）；
（III）對任意n≥2，n∈N^*，試比較與2+的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意，成等差數列，可得（n∈N^*），再寫一式，兩式相減，整理可得a_n+1-a_n=1，即{a_n}為公差為1的等差數列，再確定數列的首項．即可求得數列{a_n}的通項a_n；
（II），當n≥2時，R_n-1=1+（1+）+…+（）=n-1++-1=n（）-n，即可證得結論；
（III）先證明，再證明當k≥2時，＜，利用疊加法，即可求得結論．
解答：（I）解：由題意，成等差數列，∴（n∈N^*）．
于是，
兩式相減，得，
即a_n+1+a_n=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
由題，a_n＞0，a_n+1+a_n≠0，
得a_n+1-a_n=1，即{a_n}為公差為1的等差數列．
又由，得a₁=1或a₁=0（舍去）．
∴a_n=1+（n-1）•1=n （n∈N^*）．…（5分）
（II）證明：由（I）知，于是，
于是當n≥2時，R_n-1=1+（1+）+…+（）=n-1++-1
=n（）-n=n（T_n-1）．…（10分）
（III）解：由（I）知，．
∵，∴，
當k≥2時，＜=，
∴＜1+（1-）+（）+…+（）=2+．
即較＜2+．    …（14分）
點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查不等式的證明，考查放縮法的運用，解題的關鍵是正確放縮，屬于中檔題．