Question

已知等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}，a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．
（I）求a_n、b_n；
（Ⅱ）對(duì)于?n∈N^*，試比較a_n、b_n的大小并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

（I）∵a₁=b₁=2，a₂=b₂=4．∴等差數(shù)列{a_n}的公差d=2，等比數(shù)列{b_n}的公比q=2
所以a_n=2+（n-1）×2=2n，b_n=2×2^n-1=2ⁿ
（Ⅱ）由已知，
當(dāng)n=1，2時(shí)，a_n=b_n，
當(dāng)n=3時(shí)，a₃=6，b=8，a_n＜b_n
當(dāng)n=4時(shí)，a₃=8，b=16，a_n＜b_n
當(dāng)n=5時(shí)，a₃=10，b=25，a_n＜b_n
猜測(cè)當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＜b_n
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，a₃=6，b=8，a_n＜b_n成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)成立，即2k＜2^k，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1=2•2^k＞2•2k=2k+2k＞2k+2=2（k+1），即a_n+1＜b_n+1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)也成立
由（1）（2）可知當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＜b_n都成立．