【題目】已知函數
，
.
（1）若
，求證：當
時，
；
（2）若函數
在
上單調遞減，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）
時，求導并判斷函數
的單調性，可得在
上單調遞增，即當
時，
；
（2）構造函數
，求導并判斷單調性可得
在
上單調遞增，可求出
與
，然后分
、
和
三種情況討論，使得
在上單調遞減所滿足的條件，可求出實數
的取值范圍.
（1）依題意
，定義域為
，
.
令
，則
.
所以當
時，
，當時，
.
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
所以
，即
，所以函數在上單調遞增.
所以當時，.
（2）設
，則
.
易知當
時，
，即
，故
在上單調遞增.
所以
，
.
①若
，則在上，
，所以
.
所以
.
令
.
在上，要使單調遞減，則
，從而
.
因為
，所以
在上單調遞減.
所以
，所以
.
②若
，即
，則在上，
，
所以
，由①可知
.
所以當時，
，
從而
，所以
在上單調遞減.
③若
，則存在
，使得
，從而
.
而
，
，從而在區間上不單調遞減.
綜上所述，實數的取值范圍為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為貫徹執行黨中央“不忘初心，牢記使命”主題教育活動，增強企業的凝聚力和競爭力。某重裝企業的裝配分廠舉行裝配工人技術大比武，根據以往技術資料統計，某工人裝配第n件工件所用的時間（單位：分鐘）
大致服從的關系為
（k、M為常數）．已知該工人裝配第9件工件用時20分鐘，裝配第M件工件用時12分鐘，那么可大致推出該工人裝配第4件工件所用時間是（ ）
A.40分鐘B.35分鐘C.30分鐘D.25分鐘
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司為了了解年研發資金投人量
（單位：億元）對年銷售額
（單位：億元）的影響.對公司近
年的年研發資金投入量
和年銷售額
的數據，進行了對比分析，建立了兩個函數模型：①
，②
，其中
、
、
、
均為常數，
為自然對數的底數.并得到一些統計量的值.令
，
，經計算得如下數據：
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（1）請從相關系數的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？
（2）（ⅰ）根據（1）的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程；
（ⅱ）若下一年銷售額需達到
億元，預測下一年的研發資金投入量
是多少億元？
附：①相關系數
，
回歸直線
中公式分別為：
，
；
②參考數據：
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的長軸是短軸的兩倍，以短軸一個頂點和長軸一個頂點為端點的線段作直徑的圓的周長等于
，直線l與橢圓C交于
兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點O作直線l的垂線，垂足為D.若
，求動點D的軌跡方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
為平面內一定點，動點
為平面內曲線
上的任意一點，且滿足
，過原點的直線交曲線于
兩點.
（1）證明：直線
與直線
的斜率之積為定值；
（2）設直線，交直線
于
、
兩點，求線段
長度的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
,
滿足
（
…）．
（1）若
，求
的值；
（2）若
且
，則數列
中第幾項最小？請說明理由；
（3）若
（n=1,2,3,…），求證：“數列為等差數列”的充分必要條件是“數列
為等差數列且
（n=1,2,3,…）”．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且AB＝1，BC＝2， ∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AE⊥PC于E，
下列四個結論：①AB⊥AC；②AB⊥平面PAC；③PC⊥平面ABE；④BE⊥PC．正確的個數是( )
A.1B.2C.3D.4
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