Question

【題目】設函數.

(1)若，求的單調區間；

(2)若存在三個極值點，且，求的取值范圍，并證明:.

Answer 1

【答案】（1）單調減區間為，單調增區間為.（2），證明見解析

【解析】

（1）當時，利用導數求得的單調區間.

（2）先求得的導函數，則有兩個不同的零點，且都不是.對分成兩種情況分類討論，利用導數研究的單調性和零點，由此求得的取值范圍. 由上述分析可得，利用導數證得，從而證得.

(1)

.

令，

得，得，

在上遞減，在上遞增.

即，

解得，解得，

的單調減區間為，單調增區間為.

(2)，

有三個極值點，

方程有兩個不等根，且都不是，

令，

時，單調遞增，至多有一根，

解得，解得.

在上遞減，在上遞增，

此時，，，時.

時，有三個根，且，

由得，由得，

下面證明:，可變形為

令，

，在上遞增，

，