Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線的斜率為，且原點到直線的距離為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若不經過點的直線與橢圓交于兩點，且與圓相切.試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 的周長為定值.

【解析】

（1）根據已知條件結合，即可求出標準方程；

（2）直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，得出關系，直線與橢圓聯立，求出相交弦長，再用兩點間距離公式，求出長，求出 的周長，即可判定結論.

解: (1)由題可知，則①

直線的方程為即，所以②

聯立①②，解得，又，

所以橢圓的標準方程式為.

(2)因為直線與圓相切，

所以，即

設，聯立

得，

所以，

則由根與系數的關系可得

所以，

又所以，

因為

同理，所以

所以的周長為定值.