Question

【題目】已知數列,滿足（…）．

（1）若，求的值；

（2）若且，則數列中第幾項最小？請說明理由；

（3）若（n=1,2,3,…），求證：“數列為等差數列”的充分必要條件是“數列為等差數列且（n=1,2,3,…）”．

Answer 1

【答案】（1）（2）第8項最小，理由見解析（3）證明見解析

【解析】

（1）由可判斷是等差數列,則,進而利用等差數列性質求解即可；

（2）法一：利用數列的增減性進行判斷即可；

法二：求出的通項公式,利用均值不等式求最值,即可得到取等條件,進而求解；

（3）若數列為等差數列,設其公差為,說明數列為等差數列,由（…）推出（…）；若數列為等差數列且（n=1,2,3,…）,設公差為,轉化推出（…）,說明數列為等差數列,結論得證

（1）由,可得,故是等差數列,

所以

（2）

當時,則,解得,

當時,則,解得,

故有,

所以數列中最小,即第8項最小

法二：由,

可知

（當且僅當,即時取等號）

所以數列中的第8項最小

（3）證明：若數列為等差數列,設其公差為,

則為常數,

所以數列為等差數列,

由（…）,

則,故（…）成立,故必要性成立；

若數列為等差數列且（n=1,2,3,…）,設的公差為,

則（n=1,2,3,…）,

又,故,

又,,故,

所以,故有,所以為常數,

故數列為等差數列,故充分性成立,

綜上可得,“數列為等差數列”的充分必要條件是“數列為等差數列且（n=1,2,3,…）”