Question

【題目】關于函數，給出以下四個命題，其中真命題的序號是_______.

①時，單調遞減且沒有最值；

②方程一定有解；

③如果方程有解，則解的個數一定是偶數；

④是偶函數且有最小值.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

①將函數表示為分段函數，結合分式型函數的單調性進行判斷；②由函數是偶函數，在且時，判定函數與函數在時有唯一交點，同理得出，當且時，函數與函數在時有交點，從而可得方程有解；③求方程的解，即可判斷出命題③的正誤；④利用偶函數的定義判定函數為偶函數，再利用絕對值的性質得出且，即可判斷出命題④的正誤.

對于命題①，當時，.

當時，，則函數在上單調遞增，此時，，當時，，

當時，，則函數在上單調遞減，

所以，當時，函數不單調且沒有最值，命題①錯誤；

對于命題②，當時，，當時，，

當時，構造函數，

則函數在上單調遞增，

當時，，當時，，

所以，函數在上有且只有一個零點，

即當時，方程在上有解.

函數的定義域為，關于原點對稱，，則函數為偶函數，

同理可知，當時，方程在上有解.

所以，命題②正確；

對于命題③，當時，令，解得，則命題③錯誤；

對于命題④，由②可知，函數是偶函數，由絕對值的性質可知且，則函數為偶函數且最小值為，命題④正確.

因此，正確命題的序號為②④.

故答案為：②④.